一阶微分方程

📅Date: 2024-06-30 📚Category: 数学 📑Word: 3.4k

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一阶微分方程

定理 解的存在唯一性

线性方程

(1)线性齐次方程: 形如 \(y'+p(x)y=0\). 考虑积分因子 \(e^{\int p(x)\text d x}\). 

其解为 $y=Ce^{-\int p(x)\text d x}$.

(2) 线性非齐次方程: 形如 \(y'+p(x)y=g(x)\). 考虑如上积分因子.

其解为 $y=e^{-\int p(x)\text d x}(C+\int g(x)e^{\int p(x)\text d x} \text d x)$.

(3) \(\text{Bernoulli}\) 方程: 形如 \(y'+p(x)y=g(x)y^{\alpha}\).

当 $a\neq 0,1$ 时, 两边同乘 $y^{-a}$ 得
 $$ y^{-a}y'+p(x)y^{1-a}=g(x) $$

引入新变量 $z=y^{1-a}$ 可得 $z'+(1-a)p(x)z=(1-a)g(x)$.

之后用线性方程求解即可.

变量可分离方程

(1)变量可分离:
形如 \(y'=f(x)g(y)\).

当 $g(y)\neq0$ 时, 可化为  $$ \dfrac{\text d y}{g(y)}=f(x) \text d x $$  那么就可以对两边同时积分  $$ \int\dfrac{\text d y}{g(y)}=\int f(x)\text d x + C. $$

注: 该方法当 $g(y)=0$ 时一般会存在特解.

(2)齐次方程: 形如 \(\dfrac{\text d y}{\text d x}=F(\dfrac{y}{x})\).

引入新变量 $y=xz$, 则 $\frac{\text d y}{\text d x}=z+x\frac{\text d z}{\text d x}$.

可将方程变为  $$ z+x\frac{\text d z}{\text d x}=F(z) $$  整理后即  $$ \frac{\text d z}{\text d x}=\frac{F(z)-z}{x}. $$ 
这样就转化为了变量可分离方程.

(3) 线性分式方程: 形如 $$ \frac{\text d y}{\text d x}=\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}. $$ 

当  $$ \det\left|
\begin{array} {cc}
    a_1 & a_2 \\
    b_1 & b_2
\end{array}
\right|\neq 0 $$  即 $\exists\ x_0,y_0,\ s.t. a_1x_0+b_1y_0+c_1=0 \wedge a_2x_0+b_2y_0+c_2=0$.

那么就可以做变量替换 $x=u+x_0,y=v+y_0$.

整理后可得  $$ \frac{\text d v}{\text d u}=\frac{\text d y}{\text d x}=\frac{a_1u+b_1v}{a_2u+b_2v} $$  再上下同时除以 $u$, 就可以得到转化为齐次方程.

全微分方程

定义

  • 设 \(u=F(x,y)\) 是一个连续可微得二元函数, 则它的全微分为 $$ \text d u=\text d F(x,y)=\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}\text d x+\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}\text d y. $$

定义

  • 若有函数 \(F(x,y)\), 使得 $$ \text d F(x,y)=M(x,y)\text d x+N(x,y)\text d y, $$ 则称 $$ M(x,y)\text d x+N(x,y)\text d y=0 $$ 为全微分方程, 此时解就为 \(F(x,y)=C\).

定理

  • 设函数 \(M(x,y)\) 和 \(N(x,y)\) 在一个矩形区域 \(R\) 中连续且有连续得一阶偏导数, 则 $$ M(x,y)\text d x+N(x,y)\text d y=0 $$ 为全微分方程得充要条件是 $$ \frac{\partial M(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}. $$

当我们在 \(R\) 中任取一点 \(P(x_0,y_0)\) 就可以得到一个解 $$ F(x,y)=\int_{x_0}^x M(s,y)\text d s + \int_{y_0}^y N(x_0,s)\text d s. $$

积分因子

定义

  • 如果有函数 \(\mu(x,y)\) 使得方程 $$ \mu(x,y)M(x,y)\text d x+\mu(x,y)N(x,y)\text d y=0 $$ 是全微分方程, 则称 \(\mu(x,y)\) 是积分因子.

定理

  • 微分方程有一个仅依赖于 \(x\) 的积分因子的充要条件是
    $$ \dfrac{\dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y}-\dfrac{\partial N(x,y)}{\partial x}}{N(x,y)} $$ 仅与 \(x\) 有关.
    且积分因子 \(\mu(x,y)=\exp\left(\mint \dfrac{\dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y}-\dfrac{\partial N(x,y)}{\partial x}}{N(x,y)} \text d x\right)\).

    同理, 有一个仅依赖于 \(y\) 的积分因子的充要条件是
    $$ \dfrac{\dfrac{\partial N(x,y)}{\partial x}-\dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y}}{M(x,y)} $$ 仅与 \(y\) 有关.

常见积分因子:
$$
\begin{array} {lc}
x\text d y - y\text d x+xy\text d x=0, & \dfrac{1}{xy} \\ &\\ x\text d y - y\text d x+x^2\text d y=0, & \dfrac{1}{x^2} \\ &\\ x\text d y - y\text d x+y^2\text d y=0, & \dfrac{1}{y^2} \\ &\\ x\text d y - y\text d x+(x^2+y^2)\text d y=0, & \dfrac{1}{x^2+y^2}
\end{array}
$$

变量替换法

(1) 形如 \(\dfrac{\text d y}{\text d x}=f(ax+by+c)\)

引入变量 $z=ax+by+c$ 得到 $\dfrac{\text d z}{\text d x}=a+b\dfrac{\text d y}{\text d x}$.

可将方程化为  $$ \frac{\text d z}{\text d x}=a+bf(z). $$ 
就变为了变量可分离方程, 其通解为  $$ \int\frac{\text d z}{a+bf(z)}=x+C. $$

(2) 形如 \(yf(xy)\text d x+xg(xy)\text d y=0\)

引入变量 $z=xy$, 则 $\text d y=\dfrac{x\text d z-z\text d x}{x^2}$

原方程可化为  $$ \frac z x (f(z)-g(z))\text d x+g(z)\text d z=0. $$  这是个变量可分离方程.

(3) \(\text{Riccati}\) 方程. 形如 $$ \frac{\text d y}{\text d x}=p(x)y^2+q(x)y+f(x). $$

一阶隐式微分方程

(1)\(\text{Clairaut}\) 方程.

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